Главная страница
qrcode

программная статья. Катречко С. Л. Моделирование рассуждений в математике трансцендентальный подход


Скачать 174.5 Kb.
НазваниеКатречко С. Л. Моделирование рассуждений в математике трансцендентальный подход
Родительский файлkatr math transzendental2.rar
Анкорпрограммная статья
Дата31.10.2009
Размер174.5 Kb.
Формат файлаdoc
Имя файлаkatr_math_transzendental2.doc
ТипДокументы
#5
страница1 из 3
Каталогkatr/my_text
Полное содержание архива программная статья:
1. katr_math_transzendental2.doc
174.5 Кб.
Катречко С. Л. Моделирование рассуждений в математике: трансцендентальный подход

С этим файлом связано 4 файл(ов). Среди них: katr_philmath2009.rar, katr_method_sokrat_2010.doc, katr_math_transzendental1.rar, katr_math_transzendental.zip, katr_math_transzendental2.rar.
Показать все связанные файлы
  1   2   3



Катречко С.Л.

Моделирование рассуждений в математике: трансцендентальный подход1
§ 1. Математика и трансцендентальный метод

Трансцендентальный методсвязывают с именем И. Канта. Основной вопрос трансцендентализма звучит так: «Как возможен тот или иной феномен?», а в нашем случае — это вопрос о том, как возможно математическое познание. Общее определение трансцендентального Кант дает во «Введении» к своей «Критике чистого разума» (КЧР):

«Я называю трансцендентальным всякое познание, занимающееся не столько предметами, сколько видами нашего познания предметов, поскольку это познание должно быть возможным a priori. Система таких понятий называлась бы трансцендентальной философией» [8, с.44]2.

Из первой части определения применительно к нашему случаю следует, что предметом трансцендентальной философии математики выступает анализ такого «вида познания» как математическая деятельность, которая конституируется Кантом как чувственно–рассудочный вид познания. Вторая часть кантовского определения нацеливает на поиск априорных оснований математики, т.е. таких оснований, которые придают ей характер аподиктичности. Как отмечает Кант, «в основе всякой необходимости всегда лежит [система] трансцендентальных условий» [8, с.504]. Поэтому первой задачей трансцендентального анализа выступает выявление связанной системы априорно – трансцендентальных условий и построение на этой основе категориального базиса математики. В первом приближении, такими основаниями (хотя и не единственными) математической деятельности выступают пространство и время, априорность которых и обеспечивает аподиктичность математического знания. С другой стороны, наличие подобных априорных форм позволяет синтезировать новые (нетривиальные) результаты, т.е. получать (математические) синтетические суждения a priori. Поэтому выявление подобных онтологических и гносеологических допущений современной математики позволяет ответить на поставленный Кантом вопрос «как возможна математика?».

Основы трансцендентального метода были заложена в античности, в трудах Платона и Аристотеля. Как пишет А.Ф. Лосев, «под трансцендентализмом [следует] понимать философию, которая стремится установить условия возможности для существования данного предмета (например, условием мыслимости зеленого цвета является цвет вообще, а условием мыслимости цвета вообще является наличие объективной субстанции…, или, как рассуждают субъективисты, человеческая чувственность со своими априорными формами пространства и времени)» [17, с.49]. Сущность же трансцендентального метода античности «заключается в том, что он выставляет «гипотезу», т.е. ту или иную чисто смысловую конструкцию, с точки зрения которой рассматривается тот или иной алогический материал, причем эта «гипотеза» является смысловым условием [ср. с кантовским трансцендентальным условием. — К.С.] его возможности [16, с.255].

Кант, как мыслитель «эпистемологической эпохи» Нового времени, придает трансцендентальному гносеологическое значение: трансцендентальное условие — это не (онтологическое) условие существования отдельных вещей, а условие (возможности) их познания. Как замечает Кант в «Пролегоменах», «многократно указанное мной слово трансцендентальное означает то, что опыту (a priori) хотя и предшествует, но предназначено лишь для того, чтобы сделать возможным опытное познание» [9, с.199].

Введенное выше общее понимание кантовского трансцендентализма нуждается в ряде уточнений. Первое и главное из них связано с общей интенцией кантовского подхода, а именно с его критическим подходом. В нашем случае это преломляется так: необходимо осуществить построение такого онтологического категориального базиса математики, который будет опираться на реальную — гносеологическую — практику математической деятельности, осуществляемую трансцендентальным субъектом. Т.е. это должна быть не какая-то «красивая» система понятий, а система, соотносимая с «опытом» математической работы, благодаря чему удастся ограничить до разумных пределов с неизбежностью «выходящую за рамки опыта метафизическую спекуляцию»3. При этом Кант опирается на понятие трансцендентального субъекта. Это указывает на то, что надо избегать излишнего психологизма и не ограничивать себя частными случаями описании своего творчества математиками (типа описания А. Пуанкаре), а выявить универсальную модель математической деятельности4. В частности, Кант описывает математическую деятельность (с чем, разумеется, можно не согласиться) как «познание посредством конструирования понятий» [8, с.423], что предполагает совместную работу рассудка и воображения, т.е. определенное сочетание дискурсивных и интуитивных процедур.

Реализация подобной стратегии связана с различением «априорное vs. трансцендентальное», суть которого состоит в том, что не любое априорное понятие является трансцендентальным, и поэтому надо критически ограничить область априорного только теми понятиями, которые получили проверку с помощью трансцендентального критерия. Остановимся на этом различении чуть подробнее, поскольку при стандартном изложении философии Канта априорное и трансцендентальное часто отождествляются, хотя оно является ключом для понимания кантовского трансцендентализма. Реконструируем итоговое кантовское определение трансцендентального, «влияние которого простирается на все дальнейшие рассуждения» КЧР [8, с.73]:

«Трансцендентальным (т.е. касающимся возможности или применения априорного познания) следует называть не всякое априорное знание… а только знание о том, (1) что [и почему] те или иные представления (созерцания или понятия) вообще не имеют эмпирического происхождения, и о том, каким образом [и как это возможно, что] эти представления тем не менее могут a priori относиться к предметам опыта» (вставки в квадратных скобках наши. — К.С).

Существенным здесь является вторая часть определения, где вводится требование ограничения сферы неэмпирического знания путем ее соотнесения с «предметами опыта», что как раз и осуществляется в ходе познавательного акта. Это можно называть слабым пониманием трансцендентального. Обратим внимание также на то, что здесь ставится вопрос об априорном отношении априорных (неэмпирических) представлений. Эта двойственная априорность кажется избыточной (как «масло масляное»), но это не так. Трансцендентальное у Канта имеет характер двойной необходимости. Первая из них связана с всеобще-необходимым характером априорных (неэмпирических) представлений. Вторая — с необходимым характером отношения этих неэмпирических представлений к опыту. Например, если будет показано, что пространство с необходимостью сопровождает представление предметов вообще, то его статус — трансцендентальный, если же пространство является лишь формой созерцания «внешних» предметов (т.е. будет «ограничиваться исключительно предметами чувств»), то его статус будет лишь априорным (метафизическим). Вот как это Кант поясняет в «Критике способности суждения»:

«Трансцендентальный принцип — это принцип, посредством которого представляется априорное общее условие, единственно допускающее, чтобы вещи могли стать объектами нашего познания. Напротив, метафизическим принцип называется, если он представляет априорное условие, допускающее, чтобы объекты, понятие о которых должно быть дано эмпирически, могли быть определены априорно. Так, принцип познания тел в качестве субстанции и изменяющихся субстанций трансцендентален, если этим утверждается, что изменение должно быть вызвано какой-либо причиной; он метафизичен, если утверждается, что это изменение вызывается внешней причиной: в первом случае, для того чтобы априорно познать положение, тело должно мыслиться только посредством онтологических предикатов (чистых понятий рассудка), например, как субстанция; во втором в основу должно быть положено эмпирическое понятие тела (как вещи, движущейся в пространстве), что позволяет априорно усмотреть, что телу присущ предикат движения посредством внешней причины)» [10, с.52].

Поскольку не все априорное является трансцендентальным, то онтология должна быть очищена от частно–метафизических, но не универсально–трансцендентальных принципов. Это достигается путем тщательного анализа нашей познавательной практики, в которой нередко частное трактуется как общее, а случайное — как необходимое. Сразу же после введения слабого критерия трансцендентального Кант (на той же странице) формулирует сильный трансцендентальный критерий, подчеркивая, что «a priori относиться к предметам [познания]» могут только действия чистого мышления»5. Тем самым трансцендентальным по Канту является то, что обеспечивает встречу в познавательном акте имеющего априорные формы знания субъекта и объекта («предмета опыта») познания, а таковыми могут быть только [познавательные] «действия мышления». Только в акте познания и осуществляется подобная «встреча», а все остальное: априорное, спекулятивное, метафизическое, — не имеющее прямого отношения к действиям рассудка в ходе познания должно быть отброшено как нерелевантное.

Следует также обратить внимание на еще одно обстоятельство. Современная математика включает в себя различные типы математических объектов и разнообразные способы «работы» (математические операции) с ними, т.е. является достаточно разнородным образованием. Можно говорить о неоднородности двух типов. С одной стороны, есть горизонтальная неоднородность различных областей математики, к которым можно отнести, например, «топологию и абстрактную алгебру как два способа понимания в математике»6, или бурбакистские структуры алгебры, топологии и порядка ([3])7. С другой стороны, это вертикальная неоднородность, связанная с тем, что в математике используются абстракции различных типов. В силу неоднородности различных разделов математики надо учитывать, что, возможно, в каждой из них будет свой, отличный от других, набор математических «действий рассудка» в качестве трансцендентальных условий.

С учетом этих уточнений, можно выделить следующие основания математической деятельности: априорные8, априорно-трансцендентальные, трансцендентальные (трансцендентально-формальные) и трансцендентально-материальные9.
§ 2. Априорно-трансцендентальные основания. Трансцендентальная логика.

Этот тип оснований отсылает к слабому трансцендентальному критерию. В первом приближении они являются конкретизацией априорных оснований: онтологических и гносеологических допущений. В философии математики анализу априорно-трансцендентальных оснований уделялось недостаточно внимания, правда это частично компенсировалось их разработкой в рамках логической семантики и метаматематики.

По Канту, выявлением этих оснований должна заниматься трансцендентальная логика. В отличие от общей (формальной) логики [allgemeine Logik], которая «отвлекается от всякого содержания познания… [и изучает] одну лишь форму познания в понятиях, суждениях и умозаключениях» [8, с.121], т.е. исследует формальные законы универсума рассуждений, «трансцендентальная логика имеет дело с определенным содержанием» ([8, с.120]; выделено мной. — К.С.). Чем важно это кантовское различение для математики? По своей сути, математика тяготеет к работе с однородным количественным универсумом, отвлекаясь от качественной неоднородности моделируемой реальности. Математику, в отличие от физики, не интересует «природа» (фюзис) изучаемых объектов, поскольку она сосредотачивает свое внимание на исследовании количественных форм (абстракций). Например, если мы возьмем аристотелевский «медный шар», то геометр будет исследовать закономерности, связанные с «шарообразностью» этого объекта, отвлекаясь от его «медности»: именно это и позволяет говорить об универсальности выявляемых математикой законов, применимых, в нашем примере, к любому шару вообще.

Идея же трансцендентальной логики состоит в том, что при разработке синтаксических формализмов необходимо учитывать семантику (онтологию) универсума, в частности его структурную и качественной разнородность, что ведет к необходимости вводить определенные семантические («содержательные») ограничения на формальные (синтаксические) логические выводы путем трансцендентальной разметки объектов и областей математического рассуждения. Достаточно показательным примером такой разметки служит теория типов Б. Рассела, которая за счет этого позволила «заблокировать» возникающие в теории множеств парадоксы (заметим, что подобные ограничения, хотя и более слабые, вводятся во всех последующих аксиоматиках теории множеств). Элементарным примером подобного семантического ограничения является запрет деления на ноль, хотя чисто синтаксически (формально) «0» ничем не отличается от других чисел.

Суть кантовской трансцендентальной логики (на примере силлогистики) изложена в его «Аналитике понятий» [8, с.98]. Анализируя суждение «Все тела делимы», Кант замечает, что формально–логически функции субъекта и предиката в данном суждении не зафиксированы. Это, например, позволяет совершить «обращение» этих понятий и построить суждение «Некоторое делимое есть тело». Трансцендентальная логика, «имея дело с определенным содержанием», маркирует понятие «тела» как субстанцию, что запрещает его использование в качестве предиката. Как отмечает В. Брюшинкин [2], учет этих соображений приводит к тому, что (1) из четырех возможных суждений допустимы только суждения «Тело есть (не есть) делимое», в которых субстанциональное понятие является субъектом; (2) субстанционально-субъектные суждения не допускают обращения; (3) суждение «Все тела делимы» не может использоваться как большая посылка 1-ой фигуры силлогизма (так как в меньшей посылке понятие «тело» — уже предикат). С учетом этих ограничений будет неправомерно следующее, формально правильное, рассуждение «Все тела делимы. Все атомы есть тела. Следовательно, все атомы делимы».

Кантовский подход может быть распространен и на современные логико–математические формализмы, которые еще в большей степени отвлекаются от содержательной семантики естественного языка10. Например, суждение «Некоторые S суть P» записывается в логике предикатов формулой x(S(x) & P(x)), которая в силу коммутативности конъюнкции тождественна формуле x(P(x) & S(x)), хотя такая перестановка некорректна с точки зрения семантики: мы не имели в виду фразу «Некоторые P суть S». Т.е. потеря в синтаксисе логики предикатов смысловой информации о субъекте и предикате суждения, может привести к нежелательным с семантической точки зрения, результатам из-за введения универсалии P как субъекта суждения в номиналистический универсум логики. При этом введенный семантический запрет не моделируется на уровне синтаксиса, например путем лишением конъюнкции свойства коммутативности.

В частности, за счет учета (сложно–) сочиненности/подчиненности предложений решается парадокс Рассела, поскольку расселовские противоречия типа a & 

a на самом деле являются выражениями типа a & f(a), которые формально непротиворечивы из-за отнесения противоречивых свойств к разным онтологическим уровням универсума11.

Отметим, что в схожем концептуально–семантическом ключе может быть решен и известный парадокс Бурали–Форти, если мы учтем единственность «множества всех множеств» как «the–объекта» (ср. «самая высокая гора»). Уникальный характер этого максимума не позволяет обращаться с ним как с обычным множеством. Понятно, что после образования из него нового максимального объекта старый максимум исчезает и процедура сравнения мощностей двух максимумов (старого и нового) в общем случае некорректна. В частности, нельзя говорить, что новый объект, полученный из старого, содержится в старом, поскольку старого объекта («множества всех множеств») уже нет, но именно процедура «сравнения» (мощностей) нового и старого объектов и конституирует парадоксальный результат Бурали–Форти12.

Заметим также, что кантовская идея трансцендентальной логики в определенном смысле является развитием средневековой теории суппозиций, в которой тоже, по сути, различался синтаксический и семантический уровни рассмотрения. С формальной же точки зрения трансцендентальную логику можно рассматривать как металогику с более богатыми выразительными возможностями, благодаря чему можно модифицировать — ограничить или расширить — применение формально–логических правил вывода логики. В свете же обсуждаемой нами проблемы развитие идеи трансцендентальной логики позволяет сформулировать и более радикальный вывод, а именно: можно поставить под сомнение существующий ныне подход образования современных формализмов, последовательно развитый Г. Фреге (1848 – 1925), Д. Гильбертом (1862 – 1943), Б. Расселом (1872 – 1970) и получивший название логик фреге-расселовского типа, который основан на жестком разведении синтаксиса и семантики формальных систем. Хотя такое различение и обеспечивает строгость формализмов, но вместе с тем именно оно приводит к их семантическим неувязкам (парадоксам и известным теоремам об ограниченности формализмов). Кантовская же идея заключается в более мягком подходе к формализации, при котором определенное содержание о структуре (онтологии) универсума рассуждений должно быть учтено на синтаксическом уровне. Поэтому можно попробовать по–новому провести разграничение между синтаксической и семантической компонентами формальных систем или даже перейти к построению формализмов другого типа.
  1   2   3

перейти в каталог файлов


связь с админом